Platón y la Academia de Atenas.
Platón ha sido uno de los filósofos que mayor influjo ha
tenido en la Historia del Pensamiento y que mayor reflejo ha ejercido sobre las
concepciones acerca de la realidad matemática. Fue el gran inspirador de casi
toda la actividad matemática de su época. Siendo uno de los hombres más sabios
de su tiempo, Platón no era propiamente matemático, pero su vehemente
entusiasmo por la Matemática y su creencia en la importancia que esta ciencia
tenía como propedéutica de la Filosofía, en la educación e instrucción de la
juventud, en el entendimiento del Cosmos y en la formación del hombre de
Estado, hizo que se convirtiera en un insigne artífice de matemáticos,
debiéndose a sus discípulos y amigos casi toda la ingente producción matemática
de su época.
La doctrina platónica de mayor influencia en la Historia del
Pensamiento es la Teoría de las Ideas, que tiene su origen en las formas
geométricas, y es en el ámbito matemático en el que mejor se puede ilustrar, de
ahí la trascendencia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la
Filosofía de Platón. De hecho muchos Diálogos de Platón –el Menón, las Leyes,
el Teeteto y sobre todo la República y el Timeo– están plagados de discursos
matemáticos, y en concreto en la República, Platón prescribe que el espíritu
del filósofo gobernante requiere una exhaustiva formación en las cuatro
ciencias del Cuadrivium pitagórico como base preliminar ineludible del supremo
conocimiento dialéctico del Bien, la Belleza y la Justicia, verdadera finalidad
de los estudios filosóficos, de modo que en toda actividad intelectual de la
Academia, la Matemática, y en especial la Geometría, alcanza una significación
filosófica y un valor ético, estético y político insoslayables.
Platón matematiza toda la realidad, pero no sólo la realidad
física, sino también la esfera espiritual –lo moral, lo estético, lo político,
etc.– en un ambicioso proyecto que quiere abarcar la globalidad de la
naturaleza y del ser humano –las estructuras matemáticas gobiernan no sólo «la
naturaleza del alma humana», sino también «la naturaleza del alma del mundo»
(Timeo, 34b–36d)–. Para Platón las Matemáticas están dotadas de un carácter de
necesidad divina, lo que sintetiza en la máxima «Dios siempre hace Geometría»
–frase atribuida a Platón por Plutarco. Con Platón la Geometría se convierte en
un instrumento heurístico medular de toda su obra, que recoge el pálpito y el
sentir de toda la cultura griega.
Platón nace en el año 427 a.C. en el seno de una familia
vinculada con la vieja nobleza de Atenas. A los veinte años se hizo discípulo
de Sócrates, filósofo de la Mayéutica, con quien convivió ocho años hasta su
condena en 399. A la muerte de Sócrates, Platón se refugia en Megara en casa
del filósofo Euclides –que interviene al comienzo del Dialogo sobre la Ciencia,
el Teeteto–, y al que secularmente se le ha confundido con el autor de los
Elementos, y empieza a escribir. Durante los diez años siguientes, con un
inefable arte literario, Platón redacta los primeros Diálogos en los que
trasmite la enseñanza socrática. Al advertir las limitaciones de la Filosofía
de su maestro, empieza a buscar elementos más sólidos sobre los que basar una
Filosofía más positiva y los encuentra en la Matemática en general y en el
Pitagorismo en particular.
Con estas intenciones, Platón viaja a Cirene, y escucha las
lecciones del gran geómetra Teodoro, a quien considera uno de sus maestros –que
intervendrá también en el Teeteto–; y más tarde se traslada a Tarento, en
Italia, donde se impregna de las doctrinas pitagóricas a través de la
exposición programática del pitagorismo que había escrito Filolao y del
magisterio de Arquitas, científico eminente, brillante político y legislador,
que al establecer el antecedente del Cuadrivium medieval –Aritmética,
Geometría, Música y Astronomía–, enfatizó la relevancia que tiene la Matemática
en la Educación. Como geómetra, Arquitas fue pionero en la valoración del
estudio de la Geometría tridimensional, querencia heredada por Platón
(República, 528b). Aunque quizá su mayor contribución a la Matemática fue su
influencia sobre Platón y el haberle salvado la vida, intercediendo por él ante
el tirano Dionisio. En sus estancias en Italia, Platón se empapa de las tesis
pitagóricas –inmortalidad y transmigración de las almas; la estructuración,
descripción e interpretación del universo en términos de entidades matemáticas;
los estrechos vínculos recíprocos entre Matemática y Filosofía; el entusiasmo
místico de la pasión por el conocimiento matemático como forma de vida
filosófica articulada en una comunidad, etc.–.
A su regreso a Atenas, Platón escribe otros Diálogos, en los
que en boca de Sócrates, expone ya no sólo doctrina socrática, sino también
pitagórica, que evoluciona hacia temas platónicos originales. Así sucede en el
Gorgias, y sobre todo en el Menón en el que describe con argumentos geométricos
vinculados al problema de la Duplicación del cuadrado y a la
Inconmensurabilidad (82b-85b), nociones pitagóricas sobre la inmortalidad y la
transmigración de las almas, enlazadas con la teoría socrático-platónica de la
reminiscencia.
La Academia es fundada por Platón el año 387 a.C. inspirada
en la comunidad pitagórica e imbuida por la idea de buscar el Bien y la Verdad
a través del conocimiento matemático y filosófico. No obstante, la Academia
desarrolló una gran libertad intelectual, antagónica al esotérico dogmatismo de
los pitagóricos. Con su fundación, Platón crea el centro más importante de
irradiación matemática y filosófica de la Antigüedad. Por los escritos de
Platón, podemos inferir que una finalidad de la Academia como institución pudo
ser la sólida formación intelectual de un grupo de personas, una especie de
tecnócratas ilustrados –valga el anacronismo–, muy bien preparados para poder
sustituir a la clase política ateniense. Platón hablará a lo largo de la
República de la formación del flósofo-gobernante con la sagrada misión de
mejorar al ciudadano mediante una política basada en el conocimiento supremo
dialéctico de los paradigmas eternos del Bien y la Justicia, a los que se
asciende, según la tradición pitagórica, a través de un largo entrenamiento en
el pensamiento abstracto, exacto y deductivo, vinculado a las ciencias
matemáticas que son el fundamento de todo el saber humano.
Así pues, buena
parte de los estudios y campos de investigación de la Academia tendrían que ver
con las cuatro materias del Cuadrivium de Arquitas tal como se presenta en el
Libro VII de la República: Aritmética (525a–526c), Geometría (526d–528b),
Astronomía (528e–530c) y Música (530d–531c), todas ellas disciplinas
matemáticas que constituían una propedéutica necesaria a la ciencia suprema de
la Dialéctica. En la Academia se desarrollaba la actividad intelectual en
coloquios, debates y conversaciones dirigidos por un moderador, y también en
lecciones magistrales, en las que impartía doctrina el propio Platón y sus
ayudantes profesores de Matemáticas. La celebre frase de ingreso en la Academia
–No entre nadie ignorante en Geometría– es un epígrafe emblemático del pensamiento
y el espíritu platónicos que expresa de forma palmaria el programa que Platón llevaba
a cabo en la Academia, tal como lo ratifican numerosos pasajes de la República.
La Academia se convirtió en un importante foro de discusión
y controversia sobre los problemas filosóficos, científicos y matemáticos,
donde se integraban los propios descubrimientos e investigaciones de la propia
Academia, las especulaciones de la Filosofía física jónica, las doctrinas de
Pitágoras y Parménides e incluso las concepciones atomistas de Leucipo y
Demócrito. El propio Platón, como líder indiscutible, marcó el tono y el
carácter eminentemente académicos en sentido moderno, fomentando la enseñanza
de los aspirantes y el debate entre los iniciados. La decisiva autoridad de
Platón sobre la Academia no pudo tener lugar a través de sus escritos,
realizados a lo largo de toda su vida, sino por sus lecciones orales,
conversaciones y reflexiones, no sólo por la vivacidad y actualidad del debate
sino porque el propio Platón daba mucha más importancia a la palabra hablada
que a la escrita, como él mismo subraya en el Diálogo Fedro. Muchas de las
reflexiones de Platón, que conocemos a través del testimonio de su gran
discípulo Aristóteles, son un complemento imprescindible para la intelección de
la doctrina platónica.
La Teoría platónica de
las Ideas y los entes matemáticos.
El intento de fundamentar el saber matemático debió de ser
una de las motivaciones platónicas para desarrollar la Teoría de las Ideas,
pero a su vez el origen matemático de la misma es un aspecto esencial de la
importancia de la Matemática en la naturaleza y desarrollo de la Filosofía
platónica. La Teoría platónica de las Ideas o las Formas proviene de una
convergencia y síntesis muy coherente de la cosmovisión panmatemática
pitagórica, de la radical distinción entre lo sensible y lo inteligible de
Parménides, y de la preocupación socrática por la definición y el concepto,
verdadero antecedente de la idea y la forma platónica. Es justamente en el
terreno matemático en el que mejor se ilustra la Teoría de las ideas de Platón.
Un círculo, por ejemplo, se define en Geometría como una figura plana compuesta
por puntos que equidistan de uno dado. Pero nadie ha visto en realidad esa
figura ni se podrá ver jamás. La forma circular de los geómetras no se
encuentra entre los objetos sensibles. Lo que vemos con frecuencia son figuras
–un plato, una rueda, la luna llena–, objetos materiales que también llamamos
círculos y que resultan ser, en la forma, aproximaciones al círculo ideal. Por
tanto, la forma de círculo existe, no en el mundo físico, sino en el ámbito de
las ideas, como un objeto inteligible, inmutable e intemporal, que sólo puede
ser aprehendido mediante la razón.
La Teoría de las Ideas tiene su origen en las formas
geométricas pero no se limita a ellas. Es más, la pretensión de Platón es
alcanzar en su idealismo a todo el campo de la Moral. Si en nuestro mundo no
hay nada que sea absolutamente circular, tampoco hallamos nada absolutamente
bueno o justo. Y si la objetividad de la Geometría obliga a postular la
existencia de la forma perfecta de círculo inteligible, separada del objeto
circular sensible que se aproxima o se parece a la forma ideal, así también la
necesidad de salvaguardar la objetividad de la Moral obliga a postular la
existencia de las formas ideales y perfectas del Bien y de la Justicia, separadas
de la personas e instituciones terrenales que deben aproximarse a ellas. Las
ideas o formas tienen mayor entidad que los objetos del mundo físico tanto por
su perfección, eternidad e inmutabilidad, como por el hecho de ser modelos
canónicos que conceden a los objetos sensibles lo que tienen de realidad. Cada
cosa es lo que es en virtud de su parecido con su idea universal. Las ideas o
formas platónicas son paradigmas de las que las cosas sensibles son
imitaciones. Las formas geométricas circular, cuadrada y triangular, etc., son
excelentes ejemplos de lo que Platón entiende por idea. Un objeto que podemos
contemplar en el mundo físico puede ser llamado círculo, cuadrado o triángulo
porque imita, se parece (“participa de” en palabras de Platón) a la idea de
círculo, cuadrado o triángulo. La cosa participa de la idea y, por esa
participación, es semejante a ella; la idea es, pues, una realidad superior
presente en la cosa y al mismo tiempo original o arquetipo. De estas cuestiones
escribe Platón en diversos pasajes del Filebo (25a), la República (476a–476d),
el Fedón (100a, 101c), etc. La Teoría de las Ideas está muy dispersada a lo
largo del texto de estos Diálogos y de otros como el Menón, el Fedro y el
Banquete, e incluso para su conocimiento completo debemos acudir a Aristóteles,
sobre todo los capítulos 6 (987b) y 9 (990a) del Libro I de la Metafísica de
Aristóteles.
La Filosofía de la Matemática de
Platón.
Por herencia pitagórica, para Platón los conceptos de la
Matemática son independientes de la experiencia, se los descubre, no se los
inventa o crea. Los juicios geométricos son eternos y apriorísticos, y
corresponden a una realidad intemporal e inmutable, que es la auténtica
realidad, más real que la engañosa, imperfecta e incompleta realidad sensible. De
acuerdo con su idealismo geométrico, Platón subraya que los razonamientos que
hacemos en Geometría no se refieren a las figuras concretas que dibujamos sino
a las ideas absolutas que ellas representan (República, 510d–510e):
«[Los matemáticos] se sirven de figuras visibles que dan pie
para sus razonamientos, pero en realidad no piensan en ellas, sino en aquellas
cosas a las que se parecen. Y así, por ejemplo, cuando tratan del cuadrado en
sí y de su diagonal, no tienen en el pensamiento el que dibujan y otras cosas
por el estilo. Las mismas cosas que modelan y dibujan, cuyas imágenes nos las
ofrecen las sombras y los reflejos del agua son empleadas por ellos con ese
carácter de imágenes, pues bien saben que la realidad de esas cosas no podrá
ser percibida sino con el pensamiento.»
Por ello, para Platón, la Matemática debe ser independiente
de todo pragmatismo, de toda empiria y de la utilidad inmediata, y debe estar
liberada intelectualmente de todo instrumento material –que son elementos
corruptores y degradantes–, como señala Plutarco en sus Vidas Paralelas (Vida
de Marcelo), cuando nos habla de la indignación de Platón ante el uso de
artificios mecánicos en la Geometría:
«Platón se indispuso e indignó con ellos [contra Arquitas de
Tarento y Eudoxo de Cnido], porque degradaban y echaban a perder lo más
excelente de la Geometría con trasladarla de lo incorpóreo e intelectual a lo
sensible y emplearla en los cuerpos que son objeto de oficios toscos y
manuales.»
La Matemática como propedéutica de
la Filosofía.
Para Platón la Matemática tienen como misión elevar el alma
de las cosas sensibles a la verdad ideal inteligible, cognoscible por vía
exclusivamente racional. Pero es en el acto del filósofo de trascender el mundo
físico donde las ciencias matemáticas juegan un papel esencial, ya que permiten
realizar una intermediación en el tránsito de lo sensible a lo racional. Esta
visión platónica de las Matemáticas campea a lo largo de los Diálogos, sobre
todo en la República, un texto fundamental para comprender la Filosofía de la
Matemática de Platón que tanta trascendencia ha tenido en la evolución ulterior
de esta ciencia. En esta obra, Platón expone una grandiosa concepción
ontológica de la Matemática que ha tenido un singular atractivo sobre los
matemáticos de todas las épocas. A través del bellísimo lenguaje metafórico de
la Alegoría de la Línea (509d–511e) y de la Alegoría de la Caverna (514a–519d),
Platón reflexiona, una y otra vez, acerca de la naturaleza de las entidades
matemáticas, del lugar que ocupan en los diversos dominios de la realidad y de
las relaciones que establecen con los diversos ámbitos del conocimiento.
Dios siempre hace Geometría. La
cosmogonía poliédrica del Timeo de Platón.
El Timeo es un grandioso mito cosmogónico de raíz pitagórica
donde Platón describe con abundancia de detalles cuáles son las formas
fundamentales inteligibles que imponiéndose a una materia primitivamente informe,
han presidido la concepción y realización del orden cósmico, en la génesis de
toda la naturaleza. La acción demiúrgica del Dios geómetra soberano geometriza
el universo y lo diseña según las leyes de la Matemática, disponiendo los
cuatro elementos en la forma y número que exige la necesaria y bella armonía
matemática (Timeo,53a–53b). Con un inusitado despliegue de fantasía
geométrico-cósmica, Platón dibuja el mundo físico y explica los fenómenos
naturales en clave geométrica mediante una trasferencia de propiedades del
mundo matemático al mundo natural.
Platon en la Academia de AtenasCuatro de los poliedros
regulares –tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo– que son las formas
geométricas más bellas, son, respectivamente, los átomos de los elementos –fuego,
aire, agua y tierra–. Pero los elementos primigenios originales constituyentes
del mundo material no son propiamente estos poliedros, sino sus componentes
geométricos, formados por dos clases de triángulos rectángulos –los triángulos
más bellos–; uno es medio cuadrado, es decir, isósceles, que compone el
cuadrado cara del cubo y otro es medio triángulo equilátero, que compone las
caras triangulares equiláteras de los otros tres poliedros. En cuanto al
dodecaedro, cuyas caras no se pueden componer con los triángulos más bellos,
Platón sugiere que es la forma general del universo (54d–55c). Tras la lectura
del fastuoso Timeo uno entiende que a los poliedros regulares se les llama
Cuerpos platónicos.
En la Imagen, Platón con el rostro de Leonardo. Fragmento de
la Escuela de Atenas de Rafael. Platón sostiene en una mano El Timeo y eleva
hacia el cielo el dedo índice de la otra mano como indicando lo ideal y lo
sublime.
La influencia de Platón en la
Historia del Pensamiento y de la Matemática.
La influencia de Platón a través de la Historia de la
Cultura y del Pensamiento ha sido inmensa. Una armoniosa combinación del
misticismo y panmatematismo pitagóricos, la Lógica y la Metafísica de
Parménides y una herencia socrática directa, basada en una Ética y una Política
fundamentadas en la idea suprema del Bien como base de toda Filosofía, forjaron
en la mente preclara de Platón una síntesis poderosa que creó una atractiva
doctrina de gran originalidad, satisfactoria tanto para el intelecto como para
el sentimiento religioso, de ahí la influencia decisiva de Platón tanto en la
mayoría de los grandes filósofos, como en los grandes pensadores cristianos e
islámicos.
El influjo de las ideas platónicas en el pensamiento judío
es manifiesto en la obra del filósofo alejandrino del siglo I Filón de
Alejandría. El neoplatonismo, fundado en el siglo III por el filósofo Plotino,
supuso un importante desarrollo y una gran difusión posterior de las ideas de
Platón. Los teólogos Clemente de Alejandría, Orígenes y San Agustín fueron los
primeros pensadores cristianos cuyas ideas convergen con el Platonismo. De
hecho la Filosofa platónica tuvo un papel crucial en el desarrollo del
cristianismo al constituir el principal apoyo intelectual de la Teología
cristiana. También el pensamiento islámico medieval bebió en las ideas de
Platón, llegando incluso los árabes a redescubrir y traducir muchos de su
Diálogos. A partir del Renacimiento los humanistas estudiaron con avidez las
obras de Platón en los originales griegos redescubiertos gracias a la ingente
labor de recuperación y restauración del legado clásico, colmando los ambientes
intelectuales de traducciones latinas e incluso de versiones de los Diálogos en
lenguas vernáculas, debido a lo cual la inspiración y la fuerte carga
matemática de la Filosofía de Platón desempeñaría un papel fundamental como
guía cardinal del pensamiento científico de Nicolas de Cusa, Luca Pacioli,
Kepler, Galileo, y otros filósofos y matemáticos, e incluso a través de los
platónicos de la Escuela de Cambridge, también de Newton.
La Filosofía de la Matemática de Platón que tanta
trascendencia ha tenido en la evolución ulterior de esta ciencia, plasmada en
un bellísimo lenguaje en numerosos Diálogos platónicos, sobre todo en la
República y el Timeo, ha configurado secularmente lo que se llama Platonismo en
la Matemática, como firme creencia en la existencia de entidades matemáticas
abstractas propias del espíritu humano, pero independientes de él. Todavía en
el siglo XX, matemáticos de la talla de G.H. Hardy alimentaron esta Filosofía
(Apología de un matemático. Nivola. Madrid, 1999. p.115). De hecho La
impresionante concepción ontológica platónica de los entes matemáticos ha
ejercido a lo largo de toda la historia una singular atracción sobre todos los
matemáticos y ha contribuido a fijar la forma, las raíces y las características
del pensamiento matemático. Todavía hoy, el Platonismo –depurado de sus
múltiples elementos míticos– sigue siendo una de las filosofías de la
Matemática más vivas e influyentes. Muchos matemáticos actuales piensan que
están investigando el mundo de las estructuras abstractas, un mundo eterno,
necesario e independiente de nosotros, actitud platónica origen en el origen de
la distinción radical entre la Matemática pura como aventura mental –desplegada
por el mero honor del espíritu humano, como diría Jacobi– y por tanto
independiente de la experiencia y de la observación, y la Matemática aplicada
como mero instrumento de comerciantes, artesanos, técnicos y hombres de
negocios. Pero la propia concepción platónica de la Matemática como pensamiento
discursivo e instrumento de tránsito de lo sensible a lo inteligible es
precisamente un pegamento entre los dos tipos de Matemática aludidos. El
idealismo platónico y la investigación sin perseguir la utilidad inmediata ha
formado parte a lo largo de toda la historia de la filosofía de trabajo del
matemático que especula en la topología de un territorio de ideas que el
espíritu explora sin doblegarse a la dimensión sensible de la realidad. En este
sentido, buena parte de los matemáticos son platónicos y les fascina su
afinidad espiritual con el fundador de la Academia.